Как отличить возрастающую функцию от убывающей. Возрастание, убывание и экстремумы функции
Производной. Если производная функции положительна для любой точки интервала, то функция возрастает, если отрицательна – убывает.
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти область ее определения, производную, решить неравенства вида F’(x) > 0 и F’(x)
Решение.
3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³
Решение.
1. Найдем область определения функции. Очевидно, что выражение, стоящее в знаменателе, должно всегда быть отличным от нуля. Поэтому 0 исключается из области определения: функция определена при x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).
2. Вычислим производную функции:
y’(x) = ((3·x² + 2·x - 4)’ ·x² – (3·x² + 2·x - 4) · (x²)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x² – (3·x² + 2·x - 4) ·2·x)/x^4 = (6·x³ + 2·x² – 6·x³ – 4·x² + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x²)/x^4 = 2· (4 - x)/x³.
3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³
4. Левая часть неравенства имеет один действительный х = 4 и обращается в при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток , и в промежуток убывания, а точка 0 не включается .
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ .
4. Левая часть неравенства имеет один действительный х = 4 и обращается в при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток , и в промежуток убывания, а точка 0 не включается .
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ .
Источники:
- как найти на функции промежутки убывания
Функция представляет собой строгую зависимость одного числа от другого, или значения функции (y) от аргумента (х). Каждый процесс (не только в математике), может быть описан своей функцией, которая будет иметь характерные особенности: промежутки убывания и возрастания, точки минимумов и максимумов и так далее.
Вам понадобится
- - бумага;
- - ручка.
Инструкция
Пример 2.
Найти промежутки убывания f(x)=sinx +x.
Производная данной функции будет равна: f’(x)=cosx+1.
Решая неравенство cosx+1
Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает. Ряд определенных действий поможет найти такие диапазоны для функции, что нередко требуется в алгебраических задачах подобного рода.
Инструкция
Первым шагом в решении задачи по определению интервалов, в которых функция монотонно возрастает или убывает, станет вычисление данной функции. Для этого узнайте все значения аргументов (значения по оси абсцисс), для которых можно найти значение функции. Отметьте точки, в которых наблюдаются разрывы. Найдите производную функции. Определив выражение, которое представляет собой производную, приравняйте его к нулю. После этого следует найти корни получившегося . Не про область допустимых .
Точки, в которых функция либо в которых ее производная равна нулю, представляют собой границы интервалов монотонности . Эти диапазоны, а также точки, их разделяющие, следует последовательно внести в таблицу. Найдите знак производной функции в полученных промежутках. Для этого подставьте в выражение, соответствующее производной, любой аргумент из интервала. Если результат положительный, функция в данном диапазоне возрастает, в обратном случае - убывает. Результаты вносятся в таблицу.
В строку, обозначающую производную функции f’(x), записывается соответствующий значениям аргументов : «+» - если производная положительна,«-» - отрицательна или «0» – равна нулю. В следующей строке отметьте монотонность самого исходного выражения. Стрелка вверх соответствует возрастанию, вниз – убыванию. Отметьте функции. Это точки, в которых производная равна нулю. Экстремум может быть либо точкой максимума, либо точкой минимума. Если предыдущий участок функции возрастал, а текущий убывает, это точка максимума. В случае, когда до данной точки функция убывала, а теперь возрастает – это точка минимума. Внесите в таблицу значения функции в точках экстремума.
Источники:
- что такое определение монотонность
Исследование поведения функции, имеющей сложную зависимость от аргумента, проводится с помощью производной. По характеру изменения производной можно найти критические точки и участки роста или убывания функции.
Функция y=f(x)
убывает на интервале X
, если для любых и выполняется неравенство
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
17) Функция у = х n , где n - натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х. При n = 2 получаем функцию у = х 2 . Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x . Функция у = х 2 . Перечислим свойства функции у = х 2 . 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х 2 - четная функция (f (- х) = (- х) 2 = х 2 = f (x)). 3) На промежутке функция убывает (если x 1 < x 2 ≤ 0, то х 1 2 > х 2 2 , а это и означает убывание функции). Графиком функции у = х 2 является парабола (см. рис). |
![]() |
ри n = 3 получаем функцию у = х 3 . Функция у = х 3 . Перечислим свойства функции у = х 3 . 1) Область определения функции - вся числовая прямая. 2) у = х 3 - нечетная функция (f (- х) = (- х) 3 = - х 3 = - f (x)) 3) Функция у = х 3 возрастает на всей числовой прямой. График функции у = х 3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой. |
![]() ![]() ![]() |
18)Функцию вида y = log a (x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а . Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: log a (b) - данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а.
Основные свойства логарифмической функции:
1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+ . Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.
2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.
3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0
4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0). 5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1. На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0
7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид. 8. Функция не имеет точек максимума и минимума. Функция синус
Функция косинус
Функция тангенс
Множество значений функции
- вся числовая прямая, т.е. тангенс - функция неограниченная
. Функция нечетная:
tg(−x)=−tg x Функция периодическая
с наименьшим положительным периодом π
, т.е. tg(x+π·
k
) = tg x, k
∈ Z
для всех х из области определения. Функция котангенс
Множество значений функции
- вся числовая прямая, т.е. котангенс - функция неограниченная
. Функция нечетная:
ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения. Функция периодическая
с наименьшим положительным периодом π
, т.е. ctg(x+π·
k
)=ctg x, k
∈ Z
для всех х из области определения. 21)) Совокупность чисел, каждое из которых снабжено своим номером п
(п
= 1, 2, 3, ...), называется числовой последовательностью. Отдельные числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно так: первый член a
1 , второй a
2 , .... п
-й член a
n
и т. д. Вся числовая последовательность обозначается a
1 , a
2 , a
3 , ... , a
n
, ... или {a
n
}. 22)Арифметическая прогрессия.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d
,называется арифметической прогрессией
. Число d
называется разностью прогрессии
. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: a n = a
1 + d (n –
1) .
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
вычисляется как: Геометрическая прогрессия.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q
, называется геометрической
прогрессией
. Число q
называется знаменателем прогрессии
. Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: b n = b
1 q n -
1 .
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
вычисляется как: Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию . При неограниченном возрастании сумма ) Производная функции f(x), f′(x) , сама является функцией. Значит, можно найти eё производную.Назовём f′(x) производной функции f(x)первого порядка.Производная от производной функции f(x) называется производной второго порядка (или второй производной). Геометрический смысл производной.
Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y
= f
(x
) в этой точке. Уравнение касательной к графику функции: y = f(a) + f "(a)(x – a) y = f(a) + f "(a)(x – a) Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: 24)) Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой. Производная суммы (разности)
двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например, Пусть на некоторой плоскости задана прямоугольная система координат. Графиком некоторой функции , (X- область определения) называется множество точек этой плоскости с координатами, где . Для построения графика нужно изобразить на плоскости множество точек, координаты которых (x;y) связаны соотношением . Чаще всего графиком функции является некоторая кривая. Самый простой способ построения графика - построение по точкам. Составляется таблица, в которой в одной ячейке стоит значение аргумента, а в противоположной ей значение функции от этого аргумента. Затем полученные точки отмечаются на плоскости, и через них проводится кривая. Пример построения по точкам графика функции : Построим таблицу. Теперь строим график. Но таким способом не всегда возможно построить достаточно точный график - для точности нужно брать очень много точек. Поэтому используют различные методы исследования функции. С полной схемой исследования функции знакомятся в высших учебных заведениях. Одним из пунктов исследования функции является нахождение промежутков возрастания (убывания) функции. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если , для любых x 2 и x 1 из этого промежутка, таких, что x 2 >x 1 . Например, функция, график которой изображен на следующем рисунке, на промежутках Еще одним из пунктов исследования функции является исследование функции на периодичность. Функция называется периодичной, если существует такое число T, что Число T называют периодом функции. Например, функция периодична, здесь период равен 2П, так Примеры графиков периодичных функций: Период первой функции равен 3, а второй – 4. Функция называется четной, если Пример четной функции y=x 2 . Функция называется нечетной, если Пример нечетной функции y=x 3 . График четной функции симметричен относительно оси ОУ (осевая симметрия). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Примеры графиков четной (слева) и нечетной (справа) функции. Экстремумы функции Определение 2
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$. Определение 3
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$. Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение. Определение 4
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если: 1) $x_0$ - внутренняя точка области определения; 2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует. Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования. Теорема 2
Достаточное условие экстремума
Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда: 1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) 2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции. 3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right) Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1. Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов
Примеры экстремумов (Рис. 2). Рисунок 2. Примеры точек экстремумов
2) Найти производную $f"(x)$; 7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2. Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций. Определение 5
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1 Определение 6
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$. Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной. Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее: 1) Найти область определения функции $f(x)$; 2) Найти производную $f"(x)$; 3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$; 4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует; 5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции; 6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке; 7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает. Пример 1
Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$ Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их. 1) Область определения - все действительные числа; 2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$; 3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \ 4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения; 5) Координатная прямая: Рисунок 3.
6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:
\ \, если для любой пары точек х
и х"
, а ≤ х выполняется неравенство f
(x
) ≤
f
(x"
), и строго возрастающей - если выполняется неравенство f
(x
) f
(x"
). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у
= х
2 (рис.
, а) строго возрастает на отрезке , а (рис.
, б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f
(x
), а убывающие f
(x
)↓.
Для того чтобы дифференцируемая функция f
(x
) была возрастающей на отрезке [а
, b
], необходимо и достаточно, чтобы её производная f
"(x
) была неотрицательной на [а
, b
]. Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у
= f
(x
) называется возрастающей в точке x
0 , если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x
0 , что для любой точки х
из (α, β), х>
x
0 , выполняется неравенство f
(x
0) ≤
f
(x
), и для любой точки х
из (α, β), х 0 , выполняется неравенство f
(x
) ≤ f
(x
0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x
0 . Если f
"(x
0) >
0, то функция f
(x
) строго возрастает в точке x
0 . Если f
(x
) возрастает в каждой точке интервала (a
, b
), то она возрастает на этом интервале.
С. Б. Стечкин.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия
.
1969-1978
.
Понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей … Большой Энциклопедический словарь
Понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке , если для любой пары точек x1 и x2, a≤x1 … Энциклопедический словарь
Понятия матем. анализа. Ф ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х1 и x2, а<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1) Раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 … Большая советская энциклопедия
Раздел математики, в к ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано с развитием интегрального исчисления. Неразрывно и их содержание. Вместе они составляют основу… … Математическая энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
Аристотель и перипатетики
- Аристотелевский вопрос Жизнь Аристотеля Аристотель родился в 384/383 гг. до н. э. в Стагире, на границе с Македонией. Его отец по имени Никомах был врачом на службе у македонского царя Аминта, отца Филиппа. Вместе с семьей молодой Аристотель… … Западная философия от истоков до наших дней
- (КХД), квантовополевая теория сильного вз ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант. электродинамики (КЭД) на основе «цветовой» калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит. степень свободы квант. число,… … Физическая энциклопедия
I Сердце Сердце (лат. соr, греч. cardia) полый фиброзно мышечный орган, который, функционируя как насос, обеспечивает движение крови а системе кровообращения. Анатомия Сердце находится в переднем средостении (Средостение) в Перикарде между… … Медицинская энциклопедия
Жизнь растения, как и всякого другого живого организма, представляет сложную совокупность взаимосвязанных процессов; наиболее существенный из них, как известно, обмен веществ с окружающей средой. Среда является тем источником, откуда… … Биологическая энциклопедия
6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0
Область определения функции- множество Rвсех действительных чисел.
Множество значений функции - отрезок [-1; 1], т.е. синус функция - ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R. График функции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая 2π
:
sin(x+2π·
k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.
sin x = 0 при x = π·k
, k ∈ Z.
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k
, π+2π·k
), k ∈ Z.
sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k
, 2π+2π·k
), k ∈ Z.
Область определения функции- множество Rвсех действительных чисел.
Множество значений функции - отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция - ограниченная.
Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π
:
cos(x+2π·
k
) = cos x, где k
∈ Z для всех х ∈ R.
cos x = 0при
cos x > 0 для всех
cos x < 0для всех
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:
Наибольшее значение функции sin x = 1в точках:
Наименьшее значение функции sin x = −1в точках:
График функции симметричен относительно оси OY.
График функции симметричен относительно оси OY. 20)Общий вид функции
Преобразования
y
= f
(x
- b
)
Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
y
= f
(x
+ b
)
y
= f
(x
) + m
Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц
Отражение графика
y
= f
(- x
)
ординат.
y
= - f
(x
)
Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
Сжатие и растяжение графика
y
= f
(kx
)
y
= kf
(x
)
Преобразования графика с модулем
y
= | f
(x
) |
y
= f
(| x
|)
первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится к числу , которое называетсясуммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии
.
возрастает, а на промежутке (-5;3) убывает. То есть, на промежутках
график идет «в гору». А на промежутке (-5;3) «под гору».
.
Правило исследования функции на экстремум
Возрастание и убывание функции
Исследование функции на возрастание и убывание
Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов
Смотреть что такое "Возрастание и убывание функции" в других словарях: