Тема «Квадратный трехчлен и его корни» изучается в курсе алгебры 9 класса. как и любой другой урок математики, урок по этой теме требует иособых средств и методов обучения. Необходима наглядность. К таковой можно отнести данный видеоурок, который разработан специально для того, чтобы облегчить труд учителя.

Данный урок длится 6:36 минут. За это время автор успевает раскрыть тему полностью. Учителю останется только подобрать задания по теме, чтобы закрепить материал.

Урок начинается с демонстрации примеров многочленов с одной переменной. Затем на экране появляется определение корня многочлена. Это определение подкрепляется примером, где необходимо найти корни многочлена. Решив уравнение, автор получает корни многочлена.

Далее следует замечание, что к квадратным трехчленам относятся и такие многочлены второй степени, у которых второй, третий или оба коэффициента, кроме старшего, равны нулю. Эта информация подкрепляется примером, где свободный коэффициент равен нулю.

Затем автор поясняет, как найти корни квадратного трехчлена. Для этого необходимо решить квадратное уравнение. И проверить это автор предлагает на примере, где дан квадратный трехчлен. Нужно найти его корни. Решение строится на основе решения квадратного уравнения, полученного из данного квадратного трехчлена. Решение расписано на экране подробно, четко и понятно. По ходу решения данного примера автор вспоминает, как решается квадратное уравнение, записывает формулы, и получает результат. На экране записывается ответ.

Нахождение корней квадратного трехчлена автор объяснил на основе примера. Когда обучающиеся поймут суть, то можно переходить к более общим моментам, что автор и делает. Поэтому он далее обобщает все вышесказанное. Общими словами на математическом языке автор записывает правило нахождения корней квадратного трехчлена.

Далее следует замечание, что в некоторых задачах удобнее квадратный трехчлен записывать немного иначе. На экране дается эта запись. То есть получается, что из квадратного трехчлена можно выделить квадрат двучлена. Такое преобразование предлагается рассмотреть на примере. Решение данного примера приводится на экране. Как и в прошлом примере, решение строится подробно со всеми необходимыми пояснениями. Затем автор рассматривает задачу, где используется только что выданная информация. Это геометрическая задача на доказательство. В решении присутствует иллюстрация в виде чертежа. Решение задачи расписано подробно и понятно.

На этом урок завершается. Но учитель может подобрать по способностям обучающихся задания, которые будут соответствовать данной теме.

Данный видеоурок можно использовать в качестве объяснения нового материала на уроках алгебры. Он отлично подойдет для самостоятельной подготовки обучающихся к уроку.

Презентация к уроку математики в 9 классе по теме "Квадратный трехчлен и его корни" с содержанием заданий углубленного уровня изучения предмета. Презентация расчитана на продолжительное использование в течение всего урока. Задания разного рода по содержанию.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Пункт плана Пункт плана Пункт плана Пункт плана Пункт плана Актуализация знаний Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минутка Домашнее задание Квадратный трехчлен и его корни подготовила учитель математики: 1КК Радченко Наталья Федоровна

Актуализация знаний Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание Актуализация знаний ◊ 1 Повторение материала о функциях; ◊ 2 Теоретические основы решения квадратного уравнения; ◊ 3 Теорема Виета; ◊ 4 Итог.

Актуализация знаний Повторение материала: среди данных функций укажите линейные убывающие функции: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g= -3

Актуализация знаний Чем определяется наличие и количество корней квадратного уравнения? Как вычислить дискриминант квадратного уравнения D = 2. Назовите формулы корней квадратного уравнения D>0 , то х 1,2 = D = 0 , то х =

Актуализация знаний t² - 2t – 3 = 0 3. Вычислите дискриминант и ответьте на вопрос «Сколько корней имеет квадратное уравнение»? D= 16 >0 , два корня Чему равно произведение корней? Х 1  х 2 = - 3 5. Чему равна сумма корней уравнения? Х 1 + х 2 = 2 6. Что можно сказать о знаках корней? Корни разных знаков 7. Найдите корни подбором. Х 1 = 3, х 2 = -1

Изучение темы урока ◊ 1 Сообщение темы урока; ◊ 2 Теоретические основы понятия «Квадратный трехчлен и его корни»; ◊ 3 Высказывания великих мыслителей о математике; ◊ 4 Разбор примеров тематики; Изучение темы урока Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание

Квадратный трехчлен и его корни Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax² + bx + c , где x- переменная, a, b и c - некоторые числа, причем, a≠ 0 . Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение этого трехчлена равно нулю Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax² + bx + c , необходимо решить квадратное уравнение ax² + bx + c =0

Квадратный трехчлен и его корни Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Р.Декарт Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик. Э. Кольман

Энциклопедическая справка ◊ 1 Понятие «параметр»; ◊ 2 Значение слова «параметр» словарях русского языка и словаре иностранных слов; ◊ 3 Обозначение и широта применения параметра; ◊ 4 Примеры с параметрами. Энциклопедическая справка Динамическая минута Домашнее задание

Энциклопедическая справка ПАРАМЕТР (от греч. παραμετρέω - меряю, c опоставляя). Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи…, (мат.) Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи… «Словарь иностранных слов». 3. При каком значении параметра m квадратный трехчлен 2х ² + 2тх – т – 0,5 имеет единственный корень? Найдите этот корень.

Динамическая пауза ◊ 1 Решение «проблемной задачи»; ◊ 2 Историческая справка: письмо из прошлого; Динамическая минутка Домашнее задание

Динамическая пауза При каком значении параметра т квадратный трехчлен 2х ² + 2тх – т – 0,5 = 0 и меет единственный корень? Найдите этот корень. Квадратное уравнение имеет один корень D=0 D= b² - 4ac; a=2, b=2m, c= - m – 0,5 D= (2m)² - 4  2  (- m – 0,5) = 4m² + 8m +4 D=0, 4m² + 8m +4 = 0 m² + 2m +1 = 0 (m + 1)² = 0 m= - 1 Подставим найденное значение m в исходное уравнение: 2х ² - 2х + 1 – 0,5 = 0 4х ² - 4х + 1 = 0 (2х – 1) ² =0 2х -1 =0 х = 0,5

Динамическая пауза В домашнем задании ученикам 8 класса было предложено найти корни квадратного трехчлена (х ² - 5х +7) ² - 2(х ² - 5х +7) - 3 Подумав, Витя рассудил так: сначала нужно раскрыть скобки, потом привести подобные слагаемые. Но Степа сказал, что есть более простой способ решения и раскрывать скобки вовсе необязательно. Помогите Вите найти рациональный путь решения

Динамическая пауза Задачи на нахождение корней квадратного трехчлена и составление квадратных уравнений встречаются уже в древнеегипетских математических папирусах. Общее правило нахождения корней и решения уравнений вида: ax ² + bx = c, где a > 0, b и c – любые, сформулировал Брахмагупта (VII в. н. э.). Брахмагупта еще не знал, что квадратное уравнение может иметь и отрицательный корень. Бхаскара Ачарья (XII в.) сформулировал, соотношения между коэффициентами уравнения. Составил много задач.

Обобщение, домашнее задание ◊ 1 Решение упражнений с параметром: различные типы заданий; ◊ 2 Итог по изучаемой теме; ◊ 3 Домашнее задание: по уровням. Домашнее задание

Обобщение, домашнее задание Найдите корни квадратного трехчлена (x-4)² +(4y-12)² . Найдите значения параметра a , при каждом из которых квадратный трехчлен x²+ 4 x + 2ax+8a+1 имеет одно решение. Задание на дом: п.3; 1 группа: №45 (в, г), №49(в, г); 2 группа: a) найдите значение параметра а, при котором квадратный трехчлен x²-6x+2ax+4a не имеет решения; b) найдите корни квадратного трехчлена (2x-6)²+(3y-12)²

источник шаблона Чернакова Наталия Владимировна Преподаватель химии и биологии ГОУ НПО Архангельской области «Профессиональное училище №31» «http://pedsovet.su/»

Найти корень квадратного трехчлена можно через дискриминант. Кроме того, для приведенного многочлена второй степени действует теорема Виета, основанная на соотношении коэффициентов.

Инструкция

• Квадратные уравнения – довольно обширная тема в школьной алгебре. Левая часть такого уравнения представляет собой многочлен второй степени вида А х² + B х + C, т.е. выражение из трех одночленов разной степени неизвестной х. Чтобы найти корень квадратного трехчлена, нужно вычислить такое значение х, при котором выполняется равенство этого выражения нулю.
• Для решения квадратного уравнения нужно найти дискриминант. Его формула является следствием выделения полного квадрата многочлена и представляет собой определенное соотношение его коэффициентов:D = B² – 4 А C.
• Дискриминант может принимать различные значения, в том числе быть отрицательным. И если младшие школьники могут с облегчением сказать, что корней у такого уравнения нет, то старшеклассники уже способны их определить, исходя из теории комплексных чисел. Итак, вариантов может быть три: Дискриминант – положительное число. Тогда корни уравнения равны: х1 = (-B + √D)/2 А; х2 = (-B - √D)/2 А;
  Дискриминант обратился в ноль. Теоретически в этом случае уравнение также имеет два корня, но практически они одинаковы: х1 = х2 = -B/2 А;
  Дискриминант меньше нуля. В расчет вводится некая величина i² = -1, которая позволяет записать комплексное решение: х1 = (-B + i √|D|)/2 А; х2 = (-B - i √|D|)/2 А.
• Метод дискриминанта справедлив для любого квадратного уравнения, однако есть ситуации, когда целесообразно применить более быстрый способ, особенно при небольших целочисленных коэффициентах. Этот способ называется теоремой Виета и заключается в паре соотношений между коэффициентами в приведенном трехчлене:х² + P х + Q
  х1 + х2 = -P;
  х1 х2 = Q.Остается только подобрать корни.
• Следует отметить, что уравнение может быть приведено к подобному виду. Для этого нужно разделить все слагаемые трехчлена на коэффициент при старшей степени А:А х² + B х + C |А
  х² + B/А х + C/А
  х1 + х2 = -B/А;
  х1 х2 = C/А.

Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с параметрами встречаются две постановки задачи.

1. Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
2. Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

В данной работе рассматривается и исследуется задача второго типа применительно к корням квадратного трехчлена, нахождение которых сводится к решению квадратного уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет учителям при разработке уроков и при подготовке учащихся к ЕГЭ.

1. Что такое параметр

Выражение вида aх 2 + bх + c в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом относительно х, где a, b, c – заданные действительные числа, причем, a =/= 0. Значения переменной х, при которых выражение обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение aх 2 + bх + c = 0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные уравнения aх + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. При поиске их корней, значения переменных a, b, c, входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами переменные называют параметром. Поскольку, в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

2. Основные типы и методы решения задач с параметрами

Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.

1. Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 – 4.
2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
3. Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых корни уравнения (a – 2)х 2 – 2aх + a + 3 = 0 положительные.
Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.

Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача № 1

При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?

Решение

х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4a 2 – 2(а 2 – 1) = 4. Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения: х 1 = а + 1, х 2 = а – 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Ответ: 2 < а < 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т.е. является точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и решение иррациональных неравенств требует от ученика новых знаний.

Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции: У = х 2 – 2ах + а 2 – 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи, выглядит так.

Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.

1. Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
2. Вершина параболы находится между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно абсцисса вершины параболы х о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
   1 <х о < 5.
3. Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.

Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.

Ответ: 2 < а < 4.

Как видно из примера, графический способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью значения функции у = х 2 – 2ах + а 2 – 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный: функционально-графический. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни квадратного трехчлена удовлетворяют заданным условиям в области определения при искомых значениях параметра.

А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?