Свойство отрезков касательной проведенных точки. Справочные материалы хорда, секущая, касательная орпеделения, теоремы
1. Две касательные из одной точки.
Пусть к окружности с центром в точке $$O$$ проведены две касательные $$AM$$ и $$AN$$, точки $$M$$ и $$N$$ лежат на окружности (рис. 1).
По определению касательной $$OM \perp AM$$ и $$ON \perp AN$$. В прямоугольных треугольниках $$AOM$$ и $$AON$$ гипотенуза $$AO$$ общая, катеты $$OM$$ и $$ON$$ равны, значит, $$\Delta AOM = \Delta AON$$. Из равенства этих треугольников следует $$AM=AN$$ и $$\angle MAO = \angle NAO$$. Таким образом, если из точки к окружности проведены две касательные, то:
1.1$${\!}^{\circ}$$. отрезки касательных от этой точки до точек касания равны;
1.2$${\!}^{\circ}$$. прямая, проходящая через центр окружности и заданную точку, делит угол между касательными пополам.
Используя свойство 1.1$${\!}^{\circ}$$, легко решим следующие две задачи. (В решении используется тот факт, что в каждый треугольник можно вписать окружность).
На основании $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ расположена точка $$D$$, при этом $$DA = a$$, $$DC = b$$ (рис. 2). Окружности, вписанные в треугольники $$ABD$$ и $$DBC$$ , касаются прямой $$BD$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно. Найти отрезок $$MN$$.
.
$$\triangle$$ Пусть $$a > b $$. Обозначим $$x = MN$$, $$y = ND$$, $$z = BM$$.
По свойству касательных $$DE = y$$, $$KD = x + y $$, $$AK = AP = a - (x + y)$$, $$CE = CF = b - y$$, $$BP = z$$, и $$BF = z + x$$. Выразим боковые стороны (рис. 2а): $$AB = z+a-x-y$$, $$BC=z+x-b-y$$. По условию $$AB=BC$$, поэтому $$z+a-x -y = z+x+b-y$$. Отсюда находим $$x=\frac{(a-b)}{2}$$, т. е. $$MN=\frac{(a-b)}{2}$$. Если $$a \lt b$$, то $$MN=\frac{(b-a)}{2}$$. Итак, $$MN=\frac{1}{2}|a-b|$$. $$\blacktriangle$$
ОТВЕТ
$$\frac{|a-b|} {2}$$
Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов вписанной и описанной окружностей, т. е. $$a+b=2R+2r$$.
$$\triangle$$ Пусть $$M$$, $$N$$ и $$K$$ - точки касания окружностью сторон прямоугольного треугольника $$ABC$$ (рис. 3), $$AC=b$$, $$BC=a$$, $$r$$ - радиус вписанной окружности, $$R$$ - радиус описанной окружности. Вспомним, что гипотенуза есть диаметр описанной окружности: $$AB=2R$$. Далее, $$OM \perp AC$$, $$BC \perp AC$$, значит, $$OM \parallel BC$$, аналогично $$ON \perp BC$$, $$AC \perp BC$$, значит, $$ON \parallel AC$$. Четырёхугольник $$MONC$$ по определению есть квадрат, все его стороны равны $$r$$, поэтому $$AM = b - r$$ и $$BN = a - r $$.
По свойству касательных $$AK=AM$$ и $$BK=BN$$, поэтому $$AB = AK + KB = a+b-2r$$, а т. к. $$AB=2R$$ , то получаем $$a+b=2R+2r$$. $$\blacktriangle$$
Свойство 1.2$${\!}^{\circ}$$ сформулируем по другому: центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Около окружности с центром в точке $$O$$ описана трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ (рис. 4а).
а) Доказать, что $$\angle AOB = \angle COD = $$90$${\!}^{\circ}$$ .
б) Найти радиус окружности, если $$BO = \sqrt{5}$$ и $$AO = 2 \sqrt{5}$$. (рис. 4б)
$$\triangle$$ а) Окружность вписана в угол $$BAD$$, по свойству 1.2$${\!}^{\circ}$$ $$AO$$ - биссектриса угла $$A$$, $$\angle 1 = \angle 2 = \frac{1}{2} \angle A$$; $$BO$$ - биссектриса угла $$B$$, $$\angle 3 = \angle 4 = \frac{1}{2} \angle B$$. Из параллельности прямых $$AD$$ и $$BC$$ следует, что $$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$$,поэтому в треугольнике $$AOB$$ из $$\angle 1 + \angle 3 = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 90^{\circ}$$ следует $$\angle AOB = 90^{\circ}$$.
Аналогично $$CO$$ и $$DO$$ биссектрисы углов $$C$$ и $$D$$ трапеции, $$\angle COD = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 90^{\circ}$$.
б) Треугольник $$AOB$$ прямоугольный с катетами $$AO = 2 \sqrt{5}$$ и $$BO = \sqrt{5}$$. Находим гипотенузу $$AB=\sqrt{20+5} = 5$$. Если окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$K$$, то $$OK \perp AB$$ и $$OK$$ - радиус окружности. По свойству прямоугольного треугольника $$AB \cdot OK = AO \cdot BO$$, откуда $$OK = \frac{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}{5} = 2$$. $$\blacktriangle$$
ОТВЕТ
2. Угол между касательной и хордой с общей точкой на окружности.
Напомним, что градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Теорема 1. Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключённой между его сторонами.
$$\square$$ Пусть $$O$$ - центр окружности, $$AN$$ - касательная (рис. 5). Угол между касательной $$AN$$ и хордой $$AB$$ обозначим $$\alpha$$. Соединим точки $$A$$ и $$B$$ с центром окружности.
Таким образом, градусная мера угла между касательной и хордой равна половине градусной меры дуги $$AnB$$, которая заключена между его сторонами, и, значит, угол $$BAN$$ равен любому вписанному углу, опирающемуся на дугу $$AnB$$. (Аналогичные рассуждения можно провести и для угла $$MAB$$). $$\blacksquare$$
Точка $$C$$ лежит на окружности и отстоит от касательных, проведённых из точки $$M$$ к окружности, на расстоянии $$CS = a$$ и $$CP = b$$ (рис. 6). Доказать, что $$CK = \sqrt{ab}$$.
$$\triangle$$ Проведём хорды $$CA$$ и $$CB$$. Угол $$SAC$$ между касательной $$SA$$ и хордой $$AC$$ равен вписанному углу $$ABC$$. А угол $$PBC$$ между касательной $$PB$$ и хордой $$BC$$ равен вписанному углу $$BAC$$. Получили две пары подобных прямоугольных треугольников $$\Delta ASC \sim\Delta BKC$$ и $$\Delta BPC \sim \Delta AKC$$. Из подобия имеем $$\dfrac{a}{AC}=\dfrac{x}{BC}$$ и $$\dfrac{b}{BC}=\dfrac{x}{AC}$$, откуда следует $$ab=x^2$$, $$x=\sqrt{ab}$$. (Если проекция точки $$C$$ на прямую $$AB$$ лежит вне отрезка $$AB$$, доказательство изменяется не сильно). (Ч. т. д.) $$\blacktriangle$$
Приём , применённый в решении, - проведение «недостающих» хорд - часто помогает в задачах и теоремах с окружностью и касательной, как, например, в доказательстве следующей теоремы «о касательной и секущей» .
Теорема 2. Если из одной точки $$M$$ к окружности проведены касательная $$MA$$ и секущая $$MB$$, пересекающая окружность в точке $$C$$ (рис. 7), то справедливо равенство $$MA^2 = MB \cdot MC$$, т. е. если из точки $$M$$ к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки $$M$$ до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки $$M$$ до точек её пересечения с окружностью.
$$\square$$ Проведём хорды $$AC$$ и $$AB$$. Угол $$MAC$$ между касательной и хордой равен вписанному углу $$ABC$$, оба измеряются половиной градусной меры дуги $$AnC$$. В треугольниках $$MAC$$ и $$MBA$$ равны углы $$MAC$$ и $$MBA$$, а угол при вершине $$M$$ общий. Эти треугольники по-
добны, из подобия имеем $$MA/MB = MC/MA$$, откуда следует $$MA^2 = MB \cdot MC$$. $$\blacksquare$$
Радиус окружности равен $$R$$. Из точки $$M$$ проведены касательная $$MA$$ и секущая $$MB$$, проходящая через центр $$O$$ окружности (рис. 8). Найти расстояние между точкой $$M$$ и центром окружности, если $$MB = 2MA$$.
$$\triangle$$ Обозначим искомое расстояние $$x: \: x=MO$$, тогда $$MB = x+R$$, $$MC=x-R$$ и по условию $$MA=MB/2=(x+R)/2$$. По теореме о касательной и секущей $$(x+R)^2/4=(x+R)(x-R)$$, откуда, сокращая на $$(x+R)$$, получаем $$(x+R)/4=x-R$$. Легко находим $$x = \dfrac{5}{3}R$$. $$\blacktriangle$$
ОТВЕТ
$$\dfrac{5}{3}R$$
3. Свойство хорд окружности.
Полезно доказать эти свойства самостоятельно (лучше закрепляется), можете разобрать доказательства по учебнику.
1.3$${\!}^{\circ}$$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящей через середину хорды (не являющуюся диаметром) перпендикулярен ей.
1.4$${\!}^{\circ}$$. Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равном расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.
1.5$${\!}^{\circ}$$. Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны (рис. 9 подскажет путь доказательства).
1.6$${\!}^{\circ}$$. Если две хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, то $$AM \cdot MB = CM \cdot MD$$, т. е. произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды (на рис. 10 $$\Delta AMC \sim \Delta DMB$$).
Следующее утверждение докажем.
1.7$${\!}^{\circ}$$. Если в окружности радиуса $$R$$ вписанный угол, опирающийся на хорду длины $$a$$, равен $$\alpha$$,то $$a = 2R\textrm{sin}\alpha$$.
$$\blacksquare$$ Пусть в окружности радиуса $$R$$ хорда $$BC = a$$, вписанный угол $$BAC$$ опирается на хорду $$a$$, $$\angle BAC = \alpha$$ (рис. 11 а,б).
Проведём диаметр $$BA^{"}$$ и рассмотрим прямоугольный треугольник $$BA^{"}C$$ ($$\angle BCA^{"}= 90^{\circ}$$, опирается на диаметр).
Если угол $$A$$ острый (рис. 11а), то центр $$O$$ и вершина $$A$$ лежат по одну сторону от прямой $$BC$$, $$\angle A^{"} = \angle A$$ и $$BC = BA^{"} \cdot \textrm{sin}A^{"}$$, т. е. $$a=2R\textrm{sin}A^{"}$$ .
Если угол $$A$$ тупой, центр $$O$$ и вершина $$A$$ лежат по разные стороны от прямой $$BC$$ (рис. 11б), тогда $$\angle A^{"} = 180^{\circ} - \angle A$$ и $$BC = BA^{"} \cdot \textrm{sin}A^{"}$$, т. е. $$a=2R\textrm{sin}(180-A^{"})=2R\textrm{sin}A^{"}$$.
Если $$\alpha = 90^{\circ}$$, то $$BC$$ - диаметр, $$BC = 2R = 2R\textrm{sin}90^{\circ}$$.
Во всех случаях справедливо равенство $$a=2R\textrm{sin}A^{"}$$ . $$\blacktriangle$$
Итак, $$\boxed{a = 2R\textrm{sin}\alpha}$$ или $$\boxed{R = \dfrac{a}{2\textrm{sin}\alpha}}$$. (*)
Найти радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, в котором $$AB = 3\sqrt{3}$$, $$BC = 2$$ и угол $$ABC = 150^{\circ}$$.
$$\triangle$$ В описанной около треугольника $$ABC$$ окружности известен угол $$B$$ , опирающийся на хорду $$AC$$. Из доказанной формулы следует $$R = \dfrac{AC}{2\textrm{sin}B}$$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $$ABC$$ (рис. 12) при этом учтём, что
$$\textrm{cos}150^{\circ} = \textrm{cos}(180^{\circ}-30^{\circ}) = -\textrm{cos}30^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$, получим
$$AC^2 = 27+4+2\cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 49,\: AC=7$$.
Находим $$R = \dfrac{AC}{2\textrm{sin}150^{\circ}} = \dfrac{7}{2\textrm{sin}30^{\circ}} = 7$$. $$\blacktriangle$$
ОТВЕТ
Используем свойство пересекающихся хорд для доказательства следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть $$AD$$ - биссектриса треугольника $$ABC$$, тогда
$$AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD$$, т.е. если $$AB=c,\: AC=b,\: BD=x,\:DC=y$$, то $$AD^2 = bc-xy$$ (рис. 13а).
$$\square$$ Опишем около треугольника $$ABC$$ окружность (рис. 13б) и точку пересечения продолжения биссектрисы $$AD$$ с окружностью обозначим $$B_1$$. Обозначим $$AD = l $$ и $$DB_1 = z $$. Вписанные углы $$ABC$$ и $$AB_1C$$ равны, $$AD$$ - биссектриса угла $$A$$, поэтому $$\Delta ABD \sim \Delta AB_1C$$ (по двум углам). Из подобия имеем $$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB}{AB_1}$$, т. е. $$\dfrac{l}{b} = \dfrac{c}{l+z}$$, откуда $$l^2=bc-lz$$. По свойству пересекающихся хорд $$BD\cdot DC = AD \cdot DB_1$$, т. е. $$xy=lz$$, поэтому получаем $$l^2=bc-xy$$ . $$\blacksquare$$
4. Две касающиеся окружности
В заключении параграфа рассмотрим задачи с двумя касающимися окружностями. Две окружности, имеющие общую точку и общую касательную в этой точке, называются касающимися . Если окружности расположены по одну сторону от общей касательной, они называются касающимися внутренне (рис. 14а), а если расположены по разные стороны от касательной, то они называются касающимися внешне (рис. 14б).
Если $$O_1$$ и $$O_2$$ - центры окружностей, то по определению касательной $$AO_1 \perp l$$, $$AO_2 \perp l$$, следовательно, в обоих случаях общая точка касания лежит на линии центров.
Две окружности радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ ($$R_1 > R_2$$) внутренне касаются в точке $$A$$. Через точку $$B$$, лежащую на большей окружности, проведена прямая, касающаяся меньшей окружности в точке $$C$$ (рис. 15). Найти $$AB$$, если $$BC = a$$.
$$\triangle$$ Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ - центры большей и меньшей окружностей, $$D$$ - точка пересечения хорды $$AB$$ с меньшей окружностью. Если $$O_1N \perp AB$$ и $$O_2M \perp AB$$, то $$AN=AB/2$$ и $$AM=AD/2$$ (т. к. радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам). Из подобия треугольников $$AO_2M$$ и $$AO_1N$$ следует $$AN:AM = AO_1:AO_2$$ и, значит, $$AB:AD = R_1:R_2$$.
По теореме о касательной и секущей имеем:
$$BC^2 = AB\cdot BD = AB (AB-AD) = AB^2(1 - \dfrac{AD}{AB})$$,
т. е. $$a^2 = AB^2(1-\dfrac{R_2}{R_1})$$.
Итак, $$AB = a \sqrt{\dfrac{R_1}{R_1-R_2}}$$. $$\blacktriangle$$
Две окружности радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ внешне касаются в точке $$A$$ (рис. 16). Их общая внешняя касательная касается большей окружности в точке $$B$$ и меньшей - в точке $$C$$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.
$$\triangle$$ Соединим центры $$O_1$$ и $$O_2$$ с точками $$B$$ и $$C$$. По определению касательной, $$O_1B \perp BC$$ и $$O_2C \perp BC$$. Следовательно, $$O_1B \parallel O_2C$$ и $$\angle BO_1O_2 + \angle CO_2O_1 = 180^{\circ}$$. Так как $$\angle ABC = \dfrac{1}{2} \angle BO_1A$$ и $$\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle CO_2A$$, то $$\angle ABC + \angle ACB = 90^{\circ}$$. Отсюда следует, что $$\angle BAC = 90^{\circ}$$ , и поэтому радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника $$ABC$$ , равен половине гипотенузы $$BC$$.
Найдём $$BC$$. Пусть $$O_2K \perp O_1B$$, тогда $$KO_2 = BC,\: O_1K = R_1-R_2,\: O_1O_2 = R_1+R_2$$. По теореме Пифагора находим:
$$KO_2 = \sqrt{O_1O_2^2 - O_1K^2}= 2\sqrt{R_1R_2}, \: \underline{BC = 2\sqrt{R_1R_2} }$$.
Итак, радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$ равен $$\sqrt{R_1R_2}$$. В решении $$R_1 > R_2$$, при $$R_1
ОТВЕТ
$$\sqrt{R_1R_2}$$
Определение. Касательная к окружности — это прямая на плоскости, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.
Вот парочка примеров:
Окружность с центром O
касается прямой l
в точке A
Из любой точки M
за пределами окружности можно провести ровно две касательных
Различие между касательной l
, секущей BC
и прямой m
, не имеющей общих точек с окружностью
На этом можно было бы закончить, однако практика показывает, что недостаточно просто зазубрить определение — нужно научиться видеть касательные на чертежах, знать их свойства и вдобавок как следует попрактиковаться в применении этих свойств, решая реальные задачи. Всем этим всем мы сегодня и займёмся.
Основные свойства касательных
Для того, чтобы решать любые задачи, нужно знать четыре ключевых свойства. Два из них описаны в любом справочнике / учебнике, а вот последние два — про них как-то забывают, а зря.
1. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны
Чуть выше мы уже говорили про две касательных, проведённых из одной точки M. Так вот:
Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны.
Отрезки AM
и BM
равны
2. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания
Ещё раз посмотрим на картинку, представленную выше. Проведём радиусы OA и OB , после чего обнаружим, что углы OAM и OBM — прямые.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Этот факт можно использовать без доказательства в любой задаче:
Радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательным
Кстати, заметьте: если провести отрезок OM , то мы получим два равных треугольника: OAM и OBM .
3. Соотношение между касательной и секущей
А вот это уже факт посерьёзнее, и большинство школьников его не знают. Рассмотрим касательную и секущую, которые проходят через одну и ту же общую точку M . Естественно, секущая даст нам два отрезка: внутри окружности (отрезок BC — его ещё называют хордой) и снаружи (его так и называют — внешняя часть MC ).
Произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной
Соотношение между секущей и касательной
4. Угол между касательной и хордой
Ещё более продвинутый факт, который часто используется для решения сложных задач. Очень рекомендую взять на вооружение.
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
Откуда берётся точка B ? В реальных задачах она обычно «всплывает» где-то в условии. Поэтому важно научиться распознавать данную конфигурацию на чертежах.
Иногда всё-таки касается:)
Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .
Общая точка называется в этом случае точкой касания.
Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .
Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.
Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .
Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .
Следствие.
Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .
Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности.
Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.
Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.
Основные термины
Касательная
Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Свойства касательной
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Хорда
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Свойства хорд
Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM MB = CM MD.
Свойства окружности
Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная ); иметь с ней две общие точки (секущая ).
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Теорема о касательной и секущей
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA MB .
Теорема о секущих
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.MA MB = MC MD.
Углы в окружности
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Свойства углов, связанных с окружностью
Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
Длины и площади
Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:
C = 2 R .
Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:
S = R 2 .
Вписанные и описанные окружности
Окружность и
треугольник
центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:
r = ,
где S - площадь треугольника, а - полупериметр;
R = ,
R = ;
здесь a, b, c - стороны треугольника, - угол, лежащий против стороны a , S - площадь треугольника;
центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник - правильный.
Окружность и четырехугольники
около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:
180°;
в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:
a + c = b + d ;
около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция - равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции c серединным перпендикуляром к боковой стороне;
в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Из точки С проведем отрезок СО. Получим два треугольника:ΔСОА и ΔСОВВ ΔСОА и ΔСОВ:СО - общая, ОА = OВ, как радиусы, ОА ⊥ СА, OВ ⊥ СВ (т.к. СА и СВ - касательные). Таким образом, ΔСОА = ΔСОВ по 1-му признаку равенства треугольников. Откуда СА = СВ.
Похожие задачи:
1. В произвольном треугольнике проведена средняя линия, отсекающая от него меньший треугольник. Найдите отношение площади меньшего треугольника к площади данного треугольника.
2. Вокруг трапеции описана окружность, центр которой находится на ее большем основании. Найдите углы трапеции, если ее меньшее основание в два раза меньше большего основания.
3. Угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины большего угла треугольника, равен 12*. Найдите углы этого треугольника, если его наибольший угол в четыре раза больше наименьшего угла.
4. О1 и О2 - центры двух касающихся внешним образом окружностей. Прямая О1О2 пересекает первую окружность (с центром в точке О1) в точке А. Найдите диаметр второй окружности, если радиус первой равен 5 см, а касательная, проведенная из точки А ко второй окружности, образует с прямой О1О2 угол в 30*.
