Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.

Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.

Выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность, обладает свойством: его противоположные углы в сумме составляют 180° . Так, если дан четырехугольник ABCD, у которого угол A противоположен углу C, а угол B противоположен углу D, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Вообще, если одна пара противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то и другая пара в сумме будет составлять столько же. Это следует из того, что у выпуклого четырехугольника сумма углов всегда равна 360°. В свою очередь данный факт следует из того, что у выпуклых многоугольников сумма углов определяется по формуле 180° * (n – 2), где n - количество углов (или сторон).

Доказать свойство вписанного четырехугольника можно следующим образом. Пусть в окружность O вписан четырехугольник ABCD. Требуется доказать, что ∠B + ∠D = 180°.

Угол B является вписанным в окружность. Как известно, такой угол равен половине дуги, на которую опирается. В данном случае угол B опирается на дугу ADC, значит, ∠B = ½◡ADC. (Поскольку дуга равна углу между образующими ее радиусами, то можно записать, что ∠B = ½∠AOC, внутренняя область которого содержит точку D.)

С другой стороны угол D четырехугольника опирается на дугу ABC, то есть ∠D = ½◡ABC.

Так как стороны углов B и D пересекают окружность в одних и тех же точках (A и C), то они разделяют окружность только на две дуги - ◡ADC и ◡ABC. Так как полная окружность в сумме составляет 360°, то ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Таким образом получились следующие равенства:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Выразим сумму углов:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Вынесем ½ за скобку:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Заменим сумму дуг их числовым значением:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Мы получили, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Это и требовалось доказать.

То, что вписанный четырехугольник обладает таким свойством (сумма противоположных углов равна 180°), еще не означает, что любой четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна 180° можно вписать в окружность. Хотя на самом деле это так. Данный факт называется признаком вписанного четырехугольника и формулируется так: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность (или вписать его в окружность) .

Доказать признак вписанного четырехугольника можно методом от противного. Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого противоположные углы B и D в сумме составляют 180°. При этом угол D не лежит на окружности. Тогда возьмем на прямой, содержащей отрезок CD, такую точку E, чтобы она лежала на окружности. Получится вписанный четырехугольник ABCE. У этого четырехугольника противоположны углы B и E, а, значит, они составляют в сумме 180°. Это следует из свойства вписанного четырехугольника.

Получается, что ∠B + ∠D = 180° и ∠B + ∠E = 180°. Однако угол D четырехугольника ABCD по отношению к треугольнику AED является внешним, а значит больше угла E этого треугольника. Таким образом, мы пришли к противоречию. Значит, если сумма противоположных углов четырехугольника в сумме составляет 180°, то он всегда может быть вписан в окружность.

Выпуклый четырёхугольник A B C D {\displaystyle \displaystyle ABCD} является вписанным тогда и только тогда , когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть .

A + C = B + D = π = 180 ∘ . {\displaystyle A+C=B+D=\pi =180^{\circ }.}

Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала . Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.

p q = a c + b d . {\displaystyle \displaystyle pq=ac+bd.}

Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC , а другая - отрезок BD , пересекаются в точке P , то четыре точки A , B , C , D лежат на окружности тогда и только тогда, когда

A P ⋅ P C = B P ⋅ P D . {\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}

Точка пересечения P может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD , а во втором - вписанный четырёхугольник ABDC . Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка P делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах , поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности.

Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда

tan ⁡ A 2 tan ⁡ C 2 = tan ⁡ B 2 tan ⁡ D 2 = 1. {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {C}{2}}=\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {D}{2}}=1.}

Площадь

S = (p − a) (p − b) (p − c) (p − d) {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализа .

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников , и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a , b , c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b , c или d . Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длины .

Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a , b , c , d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулой

S = 1 2 (a b + c d) sin ⁡ B {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}} S = 1 2 (a c + b d) sin ⁡ θ {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}

где θ - любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой

S = 1 4 (a 2 − b 2 − c 2 + d 2) tan ⁡ A . {\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.} S = 2 R 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ θ {\displaystyle S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }} S ≤ 2 R 2 {\displaystyle S\leq 2R^{2}} ,

и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

Диагонали

С вершинами A , B , C , D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны

p = (a c + b d) (a d + b c) a b + c d {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}} q = (a c + b d) (a b + c d) a d + b c {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}} p q = a c + b d . {\displaystyle pq=ac+bd.}

Согласно второй теореме Птолемея ,

p q = a d + b c a b + c d {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство

p + q ≥ 2 a c + b d . {\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим .

(p + q) 2 ≤ (a + c) 2 + (b + d) 2 . {\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны .

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD , то

M N E F = 1 2 | A C B D − B D A C | {\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}

где E и F - точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD - вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P , то

A P C P = A B C B ⋅ A D C D . {\displaystyle {\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}

Формулы углов

a , b , c , d , полупериметром s и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны

cos ⁡ A = a 2 + d 2 − b 2 − c 2 2 (a d + b c) , {\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},} sin ⁡ A = 2 (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) (a d + b c) , {\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},} tan ⁡ A 2 = (s − a) (s − d) (s − b) (s − c) . {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}

Для угла θ между диагоналями выполняется

tan ⁡ θ 2 = (s − b) (s − d) (s − a) (s − c) . {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}

Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом ϕ {\displaystyle \phi } , то

cos ⁡ ϕ 2 = (s − b) (s − d) (b + d) 2 (a b + c d) (a d + b c) {\displaystyle \cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}

Формула Парамешвара

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a , b , c , d (в указанной последовательности) и полупериметром s радиус описанной окружности) задаётся формулой

R = 1 4 (a b + c d) (a c + b d) (a d + b c) (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) . {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}

Формула была выведена индийским математиком Ватассери Парамешвара в 15 веке.

Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P , а середины диагоналей - V и W , то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP , а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей .

Во вписанном четырёхугольнике "центроид площади" G a , "центроид вершин" G v и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенство

P G a = 4 3 P G v . {\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}

Другие свойства

  • Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P - точка пересечения диагоналей AC и BD . Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD . Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле треугольника .
  • Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию , то четырёхугольник является также внешне описанным .

Четырёхугольники Брахмагупты

Четырёхугольник Брахмагупты - это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью. Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d , диагоналями e, f , площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t , u и v ):

a = [ t (u + v) + (1 − u v) ] [ u + v − t (1 − u v) ] {\displaystyle a=} b = (1 + u 2) (v − t) (1 + t v) {\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)} c = t (1 + u 2) (1 + v 2) {\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})} d = (1 + v 2) (u − t) (1 + t u) {\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)} e = u (1 + t 2) (1 + v 2) {\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})} f = v (1 + t 2) (1 + u 2) {\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})} S = u v [ 2 t (1 − u v) − (u + v) (1 − t 2) ] [ 2 (u + v) t + (1 − u v) (1 − t 2) ] {\displaystyle S=uv} 4 R = (1 + u 2) (1 + v 2) (1 + t 2) . {\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}

Свойства ортодиагональных вписанных четырёхугольников

Площадь и радиус описанной окружности

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося также ортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p 1 и p 2 , а другую делит на отрезки длиной q 1 и q 2 . Тогда (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда «Леммы »)

D 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 {\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}} ,

где D -

или, через стороны четырёхугольника

R = 1 2 a 2 + c 2 = 1 2 b 2 + d 2 . {\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}

Отсюда также следует, что

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 8 R 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}

Таким образом, согласно формуле Эйлера , радиус можно выразить через диагонали p и q и расстояние x между серединами диагоналей

R = p 2 + q 2 + 4 x 2 8 . {\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, если скомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника. В результате получим

Литература

  • Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Сhapter 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9 .
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. On the diagonals of a cyclic quadrilateral // Forum Geometricorum. - 2007. - Т. 7 .
  • Nathan Altshiller-Court. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. - 2nd. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2 . (org. 1952)
  • =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. .
  • Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry Revisited. 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta"s formula. - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2 . Перевод Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. 3.2 Вписанные четырёхугольники; Теорема Брахмагупты. - Москва: «Наука», 1978. - (Библиотека математического кружка).
  • Crux Mathematicorum. Inequalities proposed in Crux Mathematicorum . - 2007.
  • D. Fraivert. The theory of an inscribable quadrilateral and a circle that forms Pascal points // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - Т. 42 . - P. 81–107. - DOI :10.18642/jmsaa_7100121742 .
  • C. V. Durell, A. Robson. Advanced Trigonometry. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8 . (orig. 1930)
  • Mowaffaq Hajja. A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. - 2008. - Т. 8 .
  • Larry Hoehn. Circumradius of a cyclic quadrilateral // Mathematical Gazette. - 2000. - Т. 84 , вып. 499 March .
  • Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. - Cambridge University Press, 1995. - Т. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0 .
  • Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. - Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
  • Thomas Peter. Maximizing the area of a quadrilateral // The College Mathematics Journal. - 2003. - Т. 34 , вып. 4 September .
  • Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. - 2nd. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1 . Глава: Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.
  • , Перевод с русского издания В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Учебное пособие. - 5-е. - Москва: МЦНМО OAO «Московские учебники», 2006. - ISBN 5-94057-214-6

Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

Центр описанной окружности

Теорема. Центр описанной около треугольника окружности является точкой пересечениясерединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Центр описанной около многоугольника окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Центр Вписанная окружность

Определение . Вписанная в выпуклый многоугольник окружность - это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружностикасательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности - точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.



Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

Где S - площадь многоугольника, p - его полупериметр.

Правильный n-угольник - формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности: a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности: S = r 2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

S = R 2 3√3

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника: α = 120°

Значение числа (произносится «пи» ) - математическая константа, равная отношению

длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.

Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14).

53. Найдем длину дуги окружности радиуса R, отвечающей центральному углу в n°

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной π R (полуокружность), стягивает центральный угол в 180° , то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

И наоборот

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 BCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 BAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D" (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD" будем иметь:

/ В + / D" = 2d .

Продолжив сторону AD" до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

/ B + / Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

/ D" = 2d - / B;
/ E = 2d - / B;

/ D" = / E,

но этого быть не может, так как / D", как внешний относительно треугольника CD"E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Упражнения.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3: 5,
а другие два относятся как 4: 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2: 0,3. Найти длину этих сторон.